STOCKHOLM[APCA1] UNIVERSITET
School of Business
Företagsekonomiska Institutionen
Kandidatuppsats 10p
VT 1999
1
1
VALUE AT RISK
- Varians / Kovarians metoden: Analys och Simulering
Författare: Henrik Waldenlind
Handledare:Tom Hemming
Curt Scheutz
SUMMARY
One of the most important developments in the area of Risk Management is Value at Risk (VaR). It is a quantitative measure of how much a financial institution can lose during a period with some probability. Formally, VaR measures the worst loss over a given time interval under normal market conditions at a given confidence level. VaR is not a new theory, it is a method that relies on existing financial theories and mathematical statistics.
The aim of this thesis is to analyse the Variance / Covariance method both analytically and empirically. VaR relies on three major assumptions namely normal distributed returns, stable correlation and non-linear financial instruments. The thesis can be divided into four parts.
The first part contains fundamental assumptions and theories upon which the model rests on. There is two major results. The first one shows the importance of having good estimates of the volatility and correlation. The other one is the strength and weaknesses of the assumption of normal distributed returns.
The second part treats how VaR is measured and how the method is applied on different types of financial instruments. One of the conclusions is that the method can handle instruments that have an analytical pricing formula. For exotic derivatives that do not have such a pricing formula the method is useless. The second part also handles how scenario analysis is made. An elementary quadratic programming problem was formulated, which can be solved to find the approximate solution to the maximum loss scenario for all instruments that have an analytical pricing formula. This problem formulation can solve maximum loss problem for very complex portfolios. The conclusion is that the Variance / Covariance method is a powerful tool for scenario analysis.
In the third part, an analytical evaluation of the method is performed for bonds and derivatives. The conclusion is that for bonds delta approximation would be suitable, but since it is rather easy to implement gamma in the calculation a recommendation is to use it. For financial instruments with a convex price curve a gamma approximation must be made. Another important conclusion is that the time horizon must be set as short as possible for option portfolios, because of their large gamma values. The use of the Variance / Covariance method for option portfolios can not be recommended.
In the fourth part, the method is back tested with a simulation approach for three stocks Astra A, Ericsson B and Volvo B for the period 960906-980522. The back testing is done by verifying that the method measures the risk appropriate and by doing a linear regression for VaR versus the real returns. Both back testing methods give positive indications of using VaR as a tool to measure market risk.
The overall conclusions are that the Variance / Covariance method is simple and can manage risk in sub portfolios. The model can not handle risk in options portfolios and portfolios where the returns are not normally distributed. The strength of the model must give it a central place in every risk management group.
INNEHÅLL
1Inledning......
1.1Metoder för beräkning av Value at Risk......
1.2Problemformulering......
1.3Syfte......
1.4Metod......
1.6Problemavgränsning......
1.7Finansiella Risker......
1.8Definition av Value at Risk......
2Varians / kovarians metoden......
2.1Antaganden......
2.2Marknadsvärdets Känslighet......
2.2.1Grekerna för Diskonteringspapper......
2.2.2Grekerna för Derivatinstrument......
2.3Marknadsfaktorernas Volatilitet......
2.3.1MA - glidande medelvärden......
2.3.2GARCH - generalized autoregressive heteroskedasticity......
2.3.3Implicit Volatilitet......
2.3.4Empiriska Undersökningar......
2.4Korrelation mellan Marknadsfaktorerna......
2.4.1En tillgång......
2.4.2Flera tillgångar......
2.4.3Diversifiering......
2.4.4Stabila korrelationer......
2.4.5CAPM - Capital Asset Pricing Model......
2.5Val av Avvecklingsperiod......
2.6Normalfördelade Avkastningar......
3Value at Risk......
3.1Avbildning av Linjära finansiella instrument......
3.2Avbildning av Diskonteringspapper......
3.2.1VaR och VaR för Diskonteringspapper......
3.3Avbildning av Derivat......
3.3.1VaR och VaR för Derivat......
3.3.2Avbildning av Exotiska Optioner......
3.4Finansiella Instrument som kan Avbildas som Diskonteringspapper eller Derivat......
3.5Stand-Alone för linjära tillgångar......
3.6Stand-Alone för icke-linjära tillgångar......
3.7Stresstestning......
3.7.1Optimalt Portföljval......
3.7.2”Maximum Loss”......
3.8Empiriska Undersökningar......
4Analytisk utvärdering......
4.1Nollkupongare......
4.2Europeiska Optioner......
4.3Analytisk Resultat......
5Simulering av Value at Risk med historiska data......
5.1 Simuleringsmodell och Algoritm......
5.2Back Testing......
5.2.1Modell 1......
5.2.2Modell 2......
5.3Korrelationer......
5.4Simuleringsresultat......
6Slutsats......
7Referenser......
8Bilagor......
8.1Notation......
1
1
1Inledning
“Risk Management - the Theory of Particle Finance” lär Charles Stanford, ordförande i Bankers Trust ha sagt. Det stämmer i allra högsta grad för Value at Risk (VaR) som är en av de viktigaste metoderna inom det området. Idén med Value at Risk är att införa ett kvantitativt mått som svarar på frågan “Hur dåligt kan det gå?”. Metoden i sig är inte någon ny teori utan bara ett instrument som utnyttjar befintliga finansiella teorier och statistiska modeller. Kärnan i metoden är att bryta ner de finansiella instrumenten i små byggstenar för att sedan bygga ihop dem igen i en mer lätthanterlig form, för att smidigare kunna mäta och hantera risken för finansiella institutioner.
Vikten av adekvat riskstyrning har ökat kraftigt under de senaste åren p.g.a. att handeln med finansiella derivat ökat lavinartat. Utvecklingen har säkert påskyndats efter alla skandaler som orsakats av optionsspekulation. Av många anses därför optioner och andra sorters derivat vara finansiella vätebomber. Det är till stor del en felaktig bild eftersom dessa instrument bidrar till en bättre riskstyrning, förutsatt att hanteras på ett riktigt sätt. Felaktig hantering leder däremot i de flesta fall till katastrof, Stix 22.
1.1Metoder för beräkning av Value at Risk
Det finns i huvudsak tre olika angreppssätt att beräkna VaR, enligt Minnich 19.
Varians / Kovarians metoden är den metod som utförligt skall behandlas i den här uppsatsen. Metoden gör fundamentala antaganden om utseendet på den sannolikhetsfördelning som genererar data.
Historisk simulering innebär att man simulerar valuta-, ränte- och aktiekurser baserat på antagandet att historien upprepas. Med hjälp av detta antagande kan man analysera vilken effekt det får för portföljutfallet. En fördel med denna metod är att den fångar upp dynamiken på marknaden på ett riktigt sätt.
Stokastisk simulering innebär att man slumpmässigt simulerar priser och genom det erhåller portföljutfall. Stokastisk simulering utförs med Monte Carlo simulering och ränteträdsmodeller. Gemensamt för dessa bägge metoder är att de bygger på simuleringsansatser.
1.2Problemformulering
Allt fler banker och finansiella institutioner blir limiterade med hjälp av VaR som kvantitativt mått för att mäta riskexponeringen. Problemformuleringen är att kvantitativt utvärdera Varians / Kovarians metoden analytiskt och empiriskt, för att undersöka om Value at Risk enligt denna metod är ett bra mått för att bestämma risk limit. Eftersom Varians / Kovarians metoden skall utvärderas faller det sig naturligt att göra en jämförelse mellan de bägge metoderna Normal-Delta VaR och Gamma-Delta VaR och att utreda skillnader och likheter mellan dessa. Förutsättningar och grundantaganden som ligger till grund för modellerna skall också utförligt behandlas och utvärderas.
1.3Syfte
Syftet med uppsatsen är att utreda för och nackdelar med Varians / Kovarians metoden för beräkning av Value at Risk. Syftet med att göra en analytisk undersökning är att ge en förståelse för hur modellerna teoretiskt förhåller sig till verkligheten, för att på det sättet underlätta den empiriska utvärderingen. En empirisk undersökning som utförs med en simulering är också nödvändig att utföra. Den utförs för att verifiera att modellen fungerar på riktiga data.
1.4Metod
För att kunna göra utvärderingen på ett riktigt sätt krävs det att man behärskar och förstår de bakomliggande teorierna. Dessutom krävs det att man förstår de fundamentala antaganden som ligger till grund för modellen. Uppsatsen inleds därför med en relativt utförlig genomgång av de antaganden och teorier som modellen vilar på. Den analytiska jämförelsen görs genom att jämföra risken mellan de bägge metoderna analytiskt. Det skall göras för nollkupongare och europeiska optioner. Den empiriska undersökningen utförs därefter med hjälp av en simulering för att se hur bra teorierna klarar av att bemästra verkligheten. Den delen av undersökningen skall utföras för tre olika aktier och en portfölj av dessa.
1.6Problemavgränsning
Uppsatsen avgränsas av att djupare jämförelser inte kommer att göras mellan vilka metoder som är bäst att använda i de olika beräkningsstegen för att bestämma VaR. Några empiriska resultat från tidigare undersökningar skall dock redovisas. Uppsatsen skall dessutom bara behandla Varians / Kovarians metoden. Stokastisk och historisk simulering skall alltså inte behandlas eller jämföras med.
1.7Finansiella Risker
För att kunna kontrollera och styra de finansiella riskerna är det viktigt att känna till vilka de är och hur de ska hanteras. Det är av stor vikt för banker och andra aktörer som handlar med finansiella instrument. Riskerna som uppstår är av finansiell karaktär, vilket innebär att det som är värt en summa i dag är värt en annan i morgon. De viktigaste riskerna som skall beaktas har beskrivits av Cade, sid 17-23 3.
i. Kreditrisk, är risken att en motpart i en finansiell transaktion inte kan uppfylla villkoren i kontraktet.
ii. Likviditetsrisk, är risken att ett finansiellt instrument inte kan säljas tillräckligt snabbt med liten transaktionskostnad till sitt marknadsvärde.
iii. Administrativ risk, är risken att finansiella förluster uppstår till följd av brister i organisationsstrukturen. De kan bero av t.ex. brist på kunskap, felaktig behandling, illvilja etc.
iv. Delivery vs Payment (DvP), är den risk som uppstår vid en finansiell transaktion innan likvid erhållits.
v. Marknadsrisk, är att marknadsvärdet för ett finansiellt instrument ändras snabbt till följd av förändringar i aktiekurser, valutor eller räntor. Marknadsrisken kan delas upp i tre undergrupper:
1. Transaktionsexponering, som motsvarar marknadsrisken i en enskild transaktion.
2. Balansexponering, som motsvarar risken i portföljen.
3. Ekonomisk exponering, som är ett begrepp som inte bara tar hänsyn till direkta effekter av t.ex. en ränteändring, utan även till den indirekta förändringen.
iv. Politisk risk, är risken att finansiella förluster uppstår som en följd av oväntade politiska beslut tagna av t.ex. centralbanker, politiska organ eller domstolar. Denna risk kan ta sig formen som riskerna ovan.
De fyra första riskerna kan sägas utgöra transaktionsrisker, eftersom de påverkas av faktisk handel. Den största risken anses bestå av de två sista, eftersom marknads- och politiska risker är mycket svårare att bedöma och åtgärda. Det är viktigt att förstå att riskerna inte är oberoende av varandra. Antag att marknadsrisken är den faktor som gjort att en institution går omkull. Den bakomliggande faktorn kan t.ex. vara bristande administrativ behandling av transaktionerna på den berörda institutionen. Ett exempel på det är Barings Bank skandalen, Jorion sid 29-30 12. Value at Risk metodikens huvuduppgift är att tillhandahålla ett kvantitativt mått på hur stor marknadsriskexponeringen är för en transaktion, portfölj eller ett helt företag. VaR kan också ge ledningen svar på frågor som:
i. Är vinsten i paritet med riskexponeringen?
ii. Benchmarketing, hur ligger vi till jämfört med våra konkurrenter?
iii. Vilka risker finns i bankens produkter och aktiviteter?
iv. Vilka limiter skall banken ha och hur hänger de samman med kapitalutnyttjande och lönsamhet? m.m.
1.8Definition av Value at Risk
Den viktigaste frågan som Value at Risk (VaR) ska besvara är “Hur dåligt kan det gå? ”. För att kunna svara på det så att inga missförstånd uppstår krävs en definition. Den vanligaste definitionen på VaR är den med en viss sannolikhet förväntade förlusten från ogynnsamma marknadsrörelser över en definierad tidsperiod, Lybeck sid 382 16 . Definitionen kan göras matematisk genom en sannolikhet. VaR är då den nedre delen av konfidensintervallet till sannolikhetsfördelningen, Jorion sid 87-91 12. Se figur 2 sid 14.
1
1
2Varians / kovarians metoden
Varians / Kovarians metoden behandlar hur en sannolikhetsbaserad riskmätning görs. Andra namn är korrelations-, den analytiska eller den parametriska metoden. De fundamentalt viktigaste beståndsdelarna i Varians / Kovarians metoden är enligt Söderlind kap 6 19.
i. Marknadsvärdets känslighet
ii. Marknadsfaktorernas volatilitet
iii. Korrelation mellan marknadsfaktorerna
iv. Val av avvecklingsperiod
v. Normalfördelade avkastningar
Dessa beståndsdelar skall utförligt behandlas i den här delen innan själva Value at Risk momentet behandlas.
2.1Antaganden
De tre antaganden som Varians / Kovarians metoden vilar på är att avkastningarna är normalfördelade, att korrelationerna mellan de olika tillgångarna är konstant och att de finansiella instrumenten i portföljen är linjära. Rimligheten och betydelsen för de två första tas upp under respektive rubrik. Antagandet om linjära tillgångar kommer att behandlas i avsnittet Value at Risk. Det kan nämnas redan nu att det är det som skiljer Normal-Delta metoden från Gamma-Delta metoden.
2.2Marknadsvärdets Känslighet
För att beskriva marknadsvärdets känslighet krävs att man inför mått som beskriver den påverkan den underliggande faktorn har för ett finansiellt instruments marknadsvärde. Det finns ett antal sådana mått att tillgå, de s.k. grekerna. Två av dessa mått krävs för beräkning av Value at Risk, nämligen delta och gamma . Gamma är även ett mått på konvexiteten. Delta kan uttryckas som hastigheten för prisändringen och gamma som accelerationen. Dessa mått är av intresse för två typer av instrument, nämligen diskonteringspapper och derivat.
2.2.1Grekerna för Diskonteringspapper
För obligationer innebär deltavärdet durationen och gammavärdet konvexiteten. Durationen är som bekant första derivatan av nuvärdet på obligationen med avseende på räntan. Konvexiteten är andra derivatan med avseende på räntan. I den här uppsatsen används strikt matematiska uttryck för duration och konvexitet. Dessa uttryck ser lite annorlunda ut jämfört med det vanliga uttrycket, den så kallade Macauley durationen, Söderlind sid 52-54 19. I viss litteratur används beteckningarna modifierad duration respektive konvexitet för delta och gamma. Dessa känslighetsmått utgår ifrån (2-1).
2.2.2Grekerna för Derivatinstrument
Ett derivat härleder sitt värde från en underliggande tillgång. Dess deltavärdet är första partiella derivatan av priset med avseende på underliggande tillgång och dess gamma är andra partiella derivatan. För en europeisk köpoption och i det allmänna fallet för forwards och futures blir och , Hull sid 55, 240-242 7.
d= Derivatets nuvärde
S= Underliggande tillgång (aktie, råvara, ränta etc.)
X= Kontraktets lösenkurs
T-t= Återstående tid till lösendag
r= Riskfri ränta
= Volatilitet eller standardavvikelse för underliggande tillgång
N(x) = Kumulativ täthetsfunktion för en stokastisk variabel som är normalfördelad med väntevärde noll och standardavvikelse ett.
Det finns inte generella analytiska prisformler för de flesta optionskontrakt. För att beräkna delta och gamma gör man som ovan och deriverar aktuell prisformel en eller två gånger med avseende på underliggande tillgång, beroende på om man vill ha eller . Put-call parity kan användas för att ta fram priset och därmed känslighetsmåtten åtminstone för europeiska säljoptioner.
2.3Marknadsfaktorernas Volatilitet
Volatiliteten är en mycket viktig och svår del i användandet av VaR. De olika tillgångarnas och skuldernas volatiliteter (standardavvikelser) måste skattas. Det kan göras på flera olika sätt bl.a. med någon statistisk metod som baseras på tidigare värden, en s.k. betingad modell. Det kan också göras genom skattning av den implicita volatiliteten, vilket är en modell som grundar sig på förväntningar och inte historien. Skattningen av volatiliteten är av särskild vikt för derivatinstrument p.g.a. deras komplexa struktur. Problemet med finansiella tidsserier är att volatiliteten kan öka kraftigt under vissa tidsperioder orsakad av t.ex. krig, ny statistik etc, Brookwell sid 336-337 2. Det framgår tydligt i figur 2.
Det finns idag ingen enhetlig standard för att bestämma volatiliteten. De läsare som är insatta i optionsvärdering förstår lätt problemet. En av faktorerna om påverkar optionspriset är just volatiliteten. Det teoretiska värdet kan därmed skilja sig avsevärt beroende på vilket sätt volatiliteten beräknas på. Tre relativt enkla metoder som används för att skatta volatiliteten skall kort beskrivas nedan.
Figur 1. Kursförändringen för Ericsson B under del av perioden 960906-980522. Det syns tydligt i figuren att perioder med låg och hög volatilitet ständigt avlöser varandra.
2.3.1MA - glidande medelvärden
Den historiska volatiliteten eller glidande medelvärdet bestäms genom att beräkna standardavvikelsen ur empiriska data för en ränta, aktie etc. för ett fixt antal dagar tillbaks i tiden. Den volatilitet som skall bestämmas ska beskriva hur stor värdeförändringen är per dag uttryckt i procent, eftersom det inte är räntans eller aktiens kurs som är intressant, utan dess förändring. Beräkning av empirisk standardavvikelse görs enligt, Hull sid 232-235 8:
Det svåra med att använda sig av glidande medelvärde är att bestämma sig av vilket tidsintervall n som skall användas. I allmänhet leder mer data till ett noggrannare resultat. Men det resultatet behöver inte alltid avspegla det rådande klimatet på marknaden. Volatiliteten ändrar sig ju kraftigt över tiden och ett felaktigt val av tidsperiod kan i många fall göra skattningen direkt felaktig. Ett sätt att snabbt fånga upp perioder med ökad volatilitet är att använda sig av EWMA, vilket står för Exponential Weighted Moving Average. Det är ett glidande medelvärde med diskontering, vilket innebär att senare värden tas upp med större vikt.
2.3.2GARCH - generalized autoregressive heteroskedasticity
Denna metod bygger på att volatiliteten för avkastningarna följer predikterbara processer. Liksom för glidande medelvärden grundar sig GARCH på tidigare värden i form av tidigare avkastningar och volatiliteter. Den enklaste modellen av detta slag är GARCH(1,1) processen, Grandell sid 98-99 5.
Som synes är GARCH(1,1) en ganska enkel model. Den enda riktiga svårigheten med modellen är att bestämma parametrarna 0, 1, 1. Skattning av dessa görs genom att maximera likelihoodfunktionen. Praktiskt innebär det att en numerisk optimering måste utföras. GARCH modeller kan också användas för beräkna volatiliteten för längre tidsperioder, vilket är av betydelse för beräkning av Value at Risk. GARCH processer kan i teorin byggas ut till att omfatta multivariata tidsserier. Det är av stor praktisk betydelse för beräkningar av korrelationer mellan olika tillgångar. Den stora nackdelen med en sådan formulering är att antalet parametrar växer exponentiellt, Jorion sid 169-173 12. Ett annat problem är att det krävs långa tidsserier för att kunna skatta parametrarna noggrant. Det finns ett antal varianter till GARCH t.ex. ARCH, EGARCH etc.
J.P. Morgans RiskMetrics använder sig av en GARCH(1,1) liknande approach. De sätter 0=0 och 1+1=1. Deras modell innehåller då bara en parameter , Longerstaey 14.
2.3.3Implicit Volatilitet
Den implicita volatiliteten visar vilken den sammanlagda förväntningen marknaden har på en ränta eller aktie. Det är ett bättre mått för att prediktera framtida riskexponering än att använda sig av historiska data, Jorion sid 182 12. Måttet på den risk en institution är exponerad för blir ju bara så bra som kvaliteten på prediktionerna av risken och korrelationerna. Den implicita volatiliteten bestäms med hjälp av Black-Scholes formel för prissättning av optioner, Hull sid 240-242 8. För en europeisk köpoption inses det ur formel (2-4) att volatiliteten inte kan beskrivas analytiskt som funktion av variablerna S, X, T-t och r. För att bestämma volatiliteten krävs då att man använder sig av en iterativ matematisk metod. Sekantmetoden också kallad Regula falsi bör användas, Råde sid 331 21. Black-Scholes metoden kan också användas för att beräkna den implicita volatiliteten för valutor, räntor etc, men måste då modifieras efter de förutsättningar som då gäller. Algoritmen för metoden ges av (2-9).
Den stora nackdelen med denna metod är att det helt enkelt finns en för liten meny av optioner och terminer att välja bland. Exempel på det är att antalet regnbågs- eller korgoptioner på marknaden är nära nog obefintligt. Det ju sådana optioner som behövs för att beräkna den implicita korrelationen mellan två olika tillgångar. Priset på en sådan option är ju baserat på flera underliggande tillgångar. En inte allt för vågad gissning är att sortimentet och likviditeten av sådana derivat kommer att vara mer tillfredsställande inom en snar framtid. Det ligger ju i bankernas intresse att utveckla dessa produkter för att kunna styra sina risker så effektivt som möjligt. SHB (Svenska Handelsbanken) har under mars 1999 emitterat 1.500.000 regnbågsoptioner, där de underliggande tillgångarna består av sex stycken telekomaktier. Löptiden för optionen är ungefär ett och halvt år.
2.3.4Empiriska Undersökningar
Det har gjorts flera undersökningar gällande vilken metod som är bäst att använda. Jose M Campa och P H Kevin Chang visade i en undersökning att den implicita korrelationen är avsevärt bättre än GARCH och EWMA för tidshorisonterna en och tre månader. Deras resultat visade också att vid en kombination av predikteringsmetoder bidrar den implicita korrelationen till bättre prediktioner. De andra metoderna saknar den egenskapen 4.
Kenneth D West och Dongchul Cho visade i en undersökning att GARCH är mycket bättre än andra modeller (EWMA) som baseras på historiska värden för tidshorisonter upp till en vecka. Deras resultat visade också att ingen metod var tillfredsställande för längre tidsperioder än så 27.
Malik Magdon-Ismail och Yaser S Abu-Mostafa visar i en undersökning att systematiska fel i bestämning av volatiliteten har ett ekonomiskt värde. De har därför utvecklat en metod för att korrigera för det felet genom att skala prediktionen med en förutbestämd faktor som beror på hur många data tidsserien består av. Metoden skall vara användbar för en stor klass av modeller 17.
2.4Korrelation mellan Marknadsfaktorerna
1990 fick Harry Markowitz och William Sharpe Nobelpriset i finansiell ekonomi. Markowitz för sin portföljvalsteori och Sharpe för Capital Asset Pricing Model (CAPM). Dessa bägge teorier är av största betydelse för bestämning av Value at Risk. Portföljvalsteorin analyserar hur ett kapital kan bli optimalt investerat och därmed reducera risken i portföljen. CAPM analyserar prisbildningen för finansiella tillgångar med hjälp av Markowitz portföljvalsteori. Teorin nedan är huvudsakligen hämtad ur Ross kap 9-10 20.
2.4.1En tillgång
Innan problemet med korrelation mellan flera marknadsfaktorer kan angripas måste nödvändiga karaktäristika för fallet med enbart en tillgång behandlas. För en enskild tillgång gäller nedanstående.
Förväntad avkastning är det aritmetiska medelvärdet av den procentuella avkastningen på årsbasis. Vilket matematiskt uttrycks som: